logo

The Mathematics of Finance not only for students

Vzorce

Uvádím zde některé vzorce finanční matematiky, které považuji za klíčové. Vzorce se týkají úročeníspoření. Soupis jsem záměrně vytvořila zkrácenou formou „studijního taháku“, protože jeho výklad by byl příliš obsáhlý. Soupis vzorců je zde pro přehlednost a dodatečnou úplnost probírané látky. Část těchto vzorců jsem použila a detailněji zpracovala na tomto webu, a to včetně vysvětlení, teorie a příkladů. Pro podrobnější výklad doporučuji prostudovat použitou literaturu.

Zde je soupis vzorců na:

Jednoduché úročení

Úroková doba

t = 360 ⋅ (R2R1) + 30 ⋅ (M2M1) + (D2D1)

Jednoduché úročení polhůtní

u = K0in

Kn = K0 + u

Kn = K0 ⋅ (1 + in)

i = p 100

n = t 360

Běžné účty

U C = K t 100

U D = 360 p

u = U C U D

u = j = 1 r U C j U D

Diskont (předlhůtní úročení)

Dob = Kndn

Kob = KnDob

Kob = Kn ⋅ (1 − dn)

Úroková sazba a diskontní sazba

i = d 1 - d n

d = i 1 + i n ; obecně  d < i

Složené úročení

Úroky připisovány 1× ročně, n

K n = K 0 ( 1 + i ) n

K 0 = K n ( 1 + i ) n

i = K n K 0 n - 1

n = ln K n - ln K 0 ln ( 1 + i ) ; použijeme i pro  n

K 0 = K 1 ( 1 + i ) 1 + K 2 ( 1 + i ) 2 + ⋅⋅⋅ + K n ( 1 + i ) n

Úroky připisovány m× ročně, n

K n = K 0 ( 1 + i m ) m n

K 0 = K n ( 1 + i m ) m n

i = m ( K n K 0 m n - 1 )

n = ln K n - ln K 0 m ln ( 1 + i m ) ; použijeme i pro  n

Smíšené úročení

(kombinace jednoduchého a složeného úročení)

Úroky připisovány 1× ročně, n

K n = K 0 ( 1 + i ) n 0 ( 1 + l i )

K 0 = K n ( 1 + i ) n 0 ( 1 + l i )

n = n 0 + l

l = t 360

Úroky připisovány m× ročně, n

K n = K 0 ( 1 + i m ) n 0 ( 1 + l i )

K 0 = K n ( 1 + i m ) n 0 ( 1 + l i )

n = n 0 + l

l = t 360

Úroková sazba

Efektivní úroková sazba

i e f = ( 1 + i m ) m - 1

Úroková intenzita – spojité úročení

i e = i - 1 ; ⅇ je Eulerovo číslo, ⅇ = 2,71828…

K n = K 0 i n

Nominální a reálná úroková sazba

i r = i - i i 1 + i i

i = i r + i i + i r i i

protože  i r i i  je malé  zjednodušeně:

i r = i - i i

Hrubý a čistý výnos

i č = i h ( i - d )

Spoření

Krátkodobé spoření (jednoduché úročení, n ≤ 1)

Předlhůtní

Spoříme m× ročně částku x na začátku m-tiny roku.

S ' x = m x ( 1 + m + 1 2 m i )

Polhůtní

Spoříme m× ročně částku x na konci m-tiny roku.

S x = m x ( 1 + m - 1 2 m i )

Dlouhodobé spoření (složené úročení, n )

Střadatel polhůtní

s n i = ( 1 + i ) n - 1 i

Předlhůtní

Spoříme 1× ročně částku a na začátku roku.

S ' = a ( 1 + i ) s n i

Polhůtní

Spoříme 1× ročně částku a na konci roku.

S = a s n i

Kombinované spoření

S = a s n i

Předlhůtní

Spoříme m× ročně částku x na začátku m-tiny roku.

a = m x ( 1 + m + 1 2 m i ) = S ' x

Polhůtní

Spoříme m× ročně částku x na konci m-tiny roku.

a = m x ( 1 + m - 1 2 m i ) = S x

Convention

Standards

Unless stated otherwise, the 30E/360 (German method) is used here.

Interest tax

If an interest tax is used in the examples, a withholding tax of 15 % is calculated.

Rounding

I rounded to two decimal places by default. I round the days for whole days. Decimal years round to four decimal places.

Interest time

When calculating the interest period, the first day of the deposit (or loan) is calculated and the last day of the deposit (or loan) is not calculated. From the two extreme days, therefore, only one day is counted.

If the interest rate is given monthly, semi-annually, quarterly or annually, I assume that the interest starts on the first day. So I count for a whole month, quarter, semester or year.

Interest period

Unless otherwise specified, I count the one-year interest period.